작성일 · 2026-10-25 · 최종 검토일 · 2026-10-25 · 7분

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이월 시 티켓 기대값 계산기

복권 1등이 몇 회 연속 나오지 않으면 당첨금이 이월되어 커집니다. 뉴스는 "이번 주 1등 당첨금 ○○억"을 크게 보도하고, 사람들은 "이 정도면 사는 게 이득 아닌가"를 묻습니다. 이 글은 그 질문에 계산으로 답합니다. 결론을 미리 정하지 않고, 아래 모형이 내놓는 숫자를 그대로 적습니다. 모형이 무엇을 가정하고 무엇을 빼놓았는지가 결과만큼 중요하므로 가정과 한계를 길게 적었습니다.

모형: 티켓 한 장의 기대값

티켓 한 장의 기대값은 등위별 기댓값의 합입니다. 2등 이하는 금액이 거의 고정이거나 당첨자가 많아 안정적이고, 이월의 영향은 1등에 집중됩니다. 1등 부분은 이렇게 계산합니다.

1. 1등 확률은 1/N입니다. 로또 6/45는 N = 8,145,060, 파워볼은 N = 292,201,338입니다.
2. 한 회차에 팔린 게임 수가 S이면 1등 당첨자 수의 기대값은 λ = S/N입니다.
3. 내가 1등을 맞혔다면 다른 당첨자 수 K를 평균 λ인 포아송으로 둡니다(모든 사람이 번호를 균등하게 무작위로 고른다고 가정).
4. 내 몫은 1등 상금의 1/(1+K)이고, 그 기댓값은 (1 − e^−λ) ÷ λ입니다.
5. 세금이 있으면 몫에 세금을 뺀 값의 평균을 구합니다(세금이 누진이라 평균에 세금을 적용하는 것과 다릅니다).

이 모형에서 티켓당 1등 기대값 = (1/N) × (세후 몫의 평균 × 1등 상금)입니다. 같은 구조가 분할 위험 글에서 본 공식입니다. 판매량이 늘면 λ가 커져서 몫이 줄고, 이것이 이월로 상금이 커지는 효과를 일부 상쇄합니다.

계산기

복권 모델을 고르고 1등 상금(파워볼은 일시불 금액, 한국은 이월금), 판매량, 가정하는 세율을 넣어 보세요. 기본값은 설명용 예시입니다.

파워볼: 계산 결과

파워볼 한 장(2달러)의 1등 이외 상금의 기대값은 공식 상금표의 금액과 확률로 계산하면 약 0.32달러입니다(5개 일치 100만 달러 1/11,688,053.52부터 파워볼만 일치 4달러 1/38.32까지 8개 등위의 합). 나머지는 1등 부분입니다. 판매량을 1억 5천만 장으로 가정하고 1등 일시불 금액을 바꿔 가며 계산한 결과는 이렇습니다.

세전 기대값이 가격 2달러를 넘는 지점(손익분기 일시불 금액)은 판매량에 따라 달라집니다.

이 계산이 보여 주는 것은 다음과 같습니다.

• 세전으로만 보면 일시불 금액이 5억~8억 달러를 넘는 매우 큰 이월 회차에서는 모형상 티켓의 기대값이 가격을 넘습니다. 일시불 8억 3,490만 달러, 판매 1.5억 장이면 2.55달러로 가격의 1.28배입니다.
• 세금을 가정하면(1등 상금에 40%를 가정) 같은 회차가 1.66달러로 가격보다 낮아집니다. 손익분기점은 9~13억 달러 부근으로 올라갑니다. 이 40%는 설명용 가정이며 미국의 연방세·주세를 확인한 값이 아닙니다. 실제 세율은 주마다 다르고 당첨자의 상황에 따라 다릅니다.
• 판매량이 클수록 같은 상금에서도 기대값이 내려갑니다. 판매량이 늘수록 몫이 나뉘기 때문입니다.

결론은 한 줄로 쓰기 어렵습니다. 아주 큰 이월 회차에서는 세전 기준으로 기대값이 가격을 넘을 수 있고, 세금과 판매량 가정에 따라 이 결론이 뒤집힙니다. 이 결과는 "이 정도 상금이면 사야 한다"는 권유가 아닙니다. 기대값이 가격을 넘어도 당첨 확률은 여전히 약 2억 9천만분의 1이고, 개별 티켓의 결과는 기대값과 거의 항상 다릅니다. 기대값은 아주 많은 티켓의 평균입니다.

한국 로또 6/45: 계산 결과

한국은 당첨금 총액이 판매액의 50%로 정해져 있고 이월된 1등 당첨금이 다음 회차 1등에 더해집니다. 모형은 판매액의 50%에서 4·5등 고정 당첨금(기대값 합 약 18%)을 뺀 나머지를 1·2·3등이 75/12.5/12.5%로 나누고, 이월금을 1등에 더합니다. 세금은 이 사이트의 세금 가이드 규칙(과세최저한 200만 원, 3억 원까지 20%·초과분 30%, 지방소득세 10%)을 1~3등에 적용했습니다. 1247회 수준의 판매량(약 1억 1,898만 게임)에서 이월금을 바꿔 가며 계산한 결과입니다.

세후 기준으로 이월이 없을 때 티켓의 기대값은 약 416원입니다(세전으로는 500원이고 세금이 약 84원을 가져갑니다). 이월금이 약 1,037억 원이 되어야 기대값이 가격 1,000원에 닿습니다. 그 정도 규모가 현실에서 가능한지 데이터와 비교해 보면, 88~1247회에서 1등 당첨금 총액(1인당 금액 × 당첨자 수)이 가장 컸던 회차는 464회의 약 436억 원이었고(앞 회차에 1등이 없어 이월된 경우), 모형의 손익분기점에 필요한 1등 당첨금 총액은 약 1,322억 원(이월 없는 기본 총액 약 285억 원에 이월금 1,037억 원을 더한 값)으로 그 세 배입니다. 중앙값은 약 154억 원, 95번째 백분위는 약 287억 원이었습니다.

그러므로 이 모형과 이 기록 안에서는 한국 로또가 이월되어도 기대값이 가격을 넘지 못했습니다. 가장 컸던 436억 원 규모의 회차도 모형으로는 약 600~650원 수준입니다(판매량이 1억 5천만 게임이면 598원). 이는 한국 로또에서 이월로 쌓일 수 있는 금액이 파워볼처럼 수억 달러 규모로 커지지 않았다는 이 데이터의 사실에 의존한 결론이며, 제도가 바뀌거나 앞으로 더 큰 이월이 생기면 달라질 수 있습니다.

가정과 한계 (결과를 읽기 전에)

• 번호 선택의 균등성. 모형은 모든 사람이 번호를 균등하게 무작위로 고른다고 가정합니다. 이 사이트의 1단계 분석에서 실제 1등 수는 포아송 기대보다 1.73배 더 크게 흩어졌습니다(당첨자 수 분석). 이 과분산은 결과에 두 가지로 작용합니다. 평균적인 조합을 고르는 경우에는 몫의 기댓값이 포아송 모형보다 약간 커집니다(공동 당첨자 수가 더 크게 흩어질 때 1/(1+K)의 평균이 커지기 때문이며, 수학적 방향만 확인한 것이고 크기는 계산하지 않았습니다). 반대로 사람들이 많이 고르는 조합을 고른다면 몫이 작아집니다(생일 번호의 함정). 이 계산기는 어느 쪽도 반영하지 않습니다.
• 판매량은 가정입니다. 잭팟이 커지면 판매량도 늘지만 그 관계를 이 글은 확인하지 못했습니다. 판매량을 직접 입력해 감도를 보세요(파워볼 표의 세 가지 판매량).
• 일시불 금액을 썼습니다. 파워볼은 일시불(현금 가치)을 1등 상금으로 보고 계산했습니다. 연금을 택한다면 현재가치 계산이 필요합니다(일시불 vs 연금).
• 세금. 파워볼의 40%는 설명용 가정입니다. 미국 세법은 확인하지 않았습니다. 한국은 세금 가이드의 규칙을 적용했으나 필요경비(구입비)는 0원으로 두었고 원 단위 절사를 가정했습니다. 하위 등위의 세금은 파워볼에서 반영하지 않았습니다.
• 파워 플레이와 다른 옵션은 반영하지 않았습니다.
• 한국 상금 구조. 4·5등은 고정, 1~3등은 4·5등을 뺀 총 당첨금의 비율이라는 동행복권 안내와 당첨금 총액이 판매액의 50%라는 설명을 따랐습니다. 4·5등의 실제 지급액은 당첨자 수에 따라 흔들려 기대값으로 대체했습니다. 이월의 법적 한도나 규칙(예: 몇 회까지 이월되는지)은 이 모형에서 다루지 않았습니다.
• 평균과 한 장의 차이. 기대값은 아주 많은 티켓의 평균입니다. 한 장의 결과는 거의 항상 0원 또는 소액입니다.

결과를 어떻게 읽어야 하나

• 기대값이 가격보다 낮다는 것은 평균적으로 손실이라는 뜻이고, 가격보다 높아도 "벌 수 있다"는 뜻이 아닙니다. 1등 확률이 매우 작아 대부분의 구매자는 기대값과 무관하게 잃습니다.
• 이월은 확률을 바꾸지 않습니다. 바뀌는 것은 1등 상금의 크기와 사는 사람의 수입니다. 둘이 반대 방향으로 작용합니다.
• 이 계산기는 구매를 권하거나 말리는 도구가 아닙니다. 책임 있는 이용은 여기를 참고하세요.

이 글은 일반적인 교육 자료이며 세무·법률 자문이 아닙니다. 세법은 바뀔 수 있으니 실제 신고나 결정 전에는 인용한 조문이나 세무 전문가를 확인하세요.

출처와 확인 상태

• 파워볼 상금표: 하위 8개 등위의 상금·확률, 1등 확률 292,201,338분의 1, $2 플레이당 전체 당첨 확률 24.87분의 1 — 확인됨 · 페이지에 일치 조건 열이 없어 표준 조합 순서로 대응시킴
• 동행복권 로또6/45: 당첨금 판매액의 50%, 4·5등 고정, 나머지의 1·2·3등 75/12.5/12.5% — 확인됨
• LottoFlick 집계: 1등 수는 포아송보다 1.73배 더 흩어짐 — LottoFlick 자체 계산
• LottoFlick 집계: 당첨금/판매액 50.0%, 회차별 1등 당첨금 총액 — LottoFlick 자체 계산
• 한국 복권 당첨금 세금 가이드 (과세최저한 200만 원, 20%·30% 구간, 지방소득세 10%) — 확인됨
• 파워볼 공지 2025-12-25: 당첨금 18억 1,700만 달러, 일시불 8억 3,490만 달러 (예시 잭팟으로 사용) — 확인됨

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