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기대값이 음수인 복권을 사람들은 왜 살까

먼저 1,000원짜리 로또 한 게임의 장부를 적어 봅시다. 동행복권은 로또 6/45의 판매액 중 50%를 당첨금으로, 43.6%를 복권기금으로, 5.4%를 판매점 수수료로, 1.0%를 기타 사업운영비로 쓴다고 소개합니다. 당첨금은 판매액의 절반이니, 모든 구매자를 합쳐 보면 1,000원을 낼 때마다 평균 500원이 당첨금으로 돌아옵니다. 나머지 500원은 돌아오지 않습니다. 이 글은 그 계산의 속을 들여다보고, 그런데도 많은 사람이 복권을 사는 이유를 경제학과 심리학의 설명으로 정리합니다. 복권 구매를 비난하거나 권하는 글이 아닙니다.

500원은 어디서 오는가

평균 500원이라는 숫자는 약속이 아니라 결과로도 확인됩니다. 88회부터 1247회까지 1,160개 회차에서 등위별 당첨자 수와 당첨금을 곱해 모두 더하면 판매액 대비 당첨금 비율이 50.0%입니다. 연도별로 보면 2005년만 50.05%이고 나머지 해는 모두 50.0%입니다. 이 비율은 요동치지 않는 구조입니다. 1,000원짜리 한 게임에 돌려주는 500원을 등위별로 나누면 이렇습니다.

1,000원 한 게임의 평균 환급액 (88~1247회, 세전)
등위한 게임이 맞을 확률평균 환급에 기여하는 금액
1등1/8,145,060약 238.7원
2등6/8,145,060약 39.8원
3등228/8,145,060약 39.8원
4등 (50,000원 고정)11,115/8,145,060약 69.8원
5등 (5,000원 고정)182,780/8,145,060약 112.0원
합계당첨 확률 합계 2.38%약 500원

이 표에서 눈여겨볼 곳이 있습니다. 평균 500원 가운데 1등이 기여하는 몫이 약 239원으로 거의 절반입니다. 그런데 내가 1등을 맞힐 확률은 800만분의 1입니다. 그러니 한 게임을 사는 사람 대부분에게 평균 500원은 일어나지 않는 일에서 나온 평균입니다. 실제로 한 게임이 어떤 등위든 맞힐 확률은 2.38%뿐이고, 그중 대부분은 5,000원짜리 5등(2.24%)입니다. 97.6%의 게임은 한 푼도 돌려받지 못합니다.

세금도 있습니다. 5등과 4등은 과세최저한 이하라 세금이 없지만, 2,000,000원을 넘는 당첨금에는 22% 이상이 원천징수됩니다. 이 글의 수치는 세전입니다. 세금은 한국 복권 당첨금 세금 가이드에서 다룹니다.

1년이면 얼마의 차이가 날까

매주 5게임(5,000원)을 1년 동안 사면 260,000원을 씁니다. 평균적으로 그중 130,000원은 당첨금으로 돌아오고 130,000원은 돌아오지 않는 것으로 계산됩니다. 물론 이 130,000원은 평균입니다. 1년 동안 5등 몇 번으로 몇만 원을 돌려받는 사람도 있고, 한 푼도 받지 못하는 사람도 있습니다. 평균은 "나에게 일어날 일"이 아니라 "수많은 구매자를 합친 결과"입니다.

경제학의 한 가지 답: 기대값만으로는 선택을 설명하지 못한다

기대값이 음수인 선택은 비합리적일까요? 경제학은 꼭 그렇게 보지 않습니다. 프리드먼과 새비지(1948)는 보험과 복권을 함께 사는 사람들의 행동을 효용 함수의 모양으로 설명하려 했습니다. 이 논문의 핵심은 효용의 굴곡이 부(富)의 수준에 따라 달라질 수 있다는 것이고, 그러면 같은 사람이 보험(위험 회피)과 복권(위험 선호)을 함께 선택할 수 있다는 생각입니다. 이 글에서는 이 논문의 서지 정보와 2차 자료의 설명만 확인했으므로 구체적인 모형은 다루지 않습니다. 한 가지 중요한 점은 이 설명이 "복권을 사는 것은 계산 실수"라는 단순한 해석을 피한다는 점입니다.

또 하나의 이론적 설명이 있습니다. 비용에 비해 즐거움을 얻는다는 것입니다. 복권은 "당첨되면 무엇을 할까"라는 상상을 며칠 동안 하게 만드는 상품으로 볼 수 있고, 그 상상의 값이 기대 손실을 넘는다면 합리적인 소비일 수 있습니다. 영화표나 게임 이용료와 같은 오락비의 관점입니다. 이 관점에서 중요한 것은 지출이 오락비 범위 안에 있는가입니다.

심리학의 답: 작은 확률을 크게 느낀다

카너먼과 트버스키(1979)의 전망 이론은 사람들이 확률을 그대로 받아들이지 않고 "결정 가중치"로 바꿔 쓴다고 봅니다. 초록에 따르면 결정 가중치는 대체로 실제 확률보다 낮지만 아주 작은 확률 구간에서는 반대로 실제보다 높아집니다. 이 과대 가중이 보험과 도박이 모두 매력적으로 느껴지는 데 기여할 수 있다고 저자들은 말합니다. 800만분의 1은 계산상 0에 가깝지만, 우리 마음에서는 "0이 아닌 어떤 것"으로 취급됩니다. 이 사이트는 이 논문의 초록이 2차 페이지에 옮겨진 내용만 확인했습니다.

이는 앞서 확률 착각 세 가지에서 다룬 "확률 크기 무시"와 겹칩니다. 작은 확률의 크기를 구별하지 못하면 800만분의 1과 100만분의 1이 같은 것처럼 느껴지고, 그만큼 당첨 가능성이 실제보다 가깝게 느껴집니다. 가용성 휴리스틱도 더해집니다. 당첨 소식은 보이고 낙첨 수천만 장은 보이지 않습니다.

그 밖의 이유들

그래서 어떻게 생각하면 되나

이 글의 결론은 구매를 하지 말라거나 해도 된다는 판단이 아닙니다. 두 가지 사실을 분명히 하자는 것입니다.

한계도 적어 둡니다. 50%는 전체 구매자 평균의 값이고 특정 사람이나 특정 회차의 값이 아닙니다. 1등이 이월되는 경우 특정 회차의 기대값이 달라질 수 있는데 이 문제는 이월 시 기대값 계산기에서 다룰 예정입니다. 심리학과 경제학의 설명은 모두 가설적 설명이며, 사람 한 명 한 명이 왜 샀는지를 증명하지 않습니다. 이 글은 논문의 서지·초록 수준만 확인하고 인용했습니다.

5게임을 샀을 때 실제로 일어나는 일

평균은 많은 사람의 합입니다. 내가 5게임(5,000원)을 한 번 샀다고 할 때 실제 결과의 분포를 보겠습니다. 한 게임이 어떤 등위든 당첨될 확률은 2.3834%이고 대부분은 5,000원짜리 5등입니다.

5게임(5,000원)을 산 한 회차의 결과 (세전)
결과확률
5게임 모두 낙첨 (5,000원 손실)약 88.6%
한 게임 이상 당첨약 11.4%
5등 한 번만 당첨되는 경우 (5,000원 회수, 손익 없음)당첨 중 대부분
구입비 이상을 회수하려면최소 5등 1장 이상 (확률 약 11.4%)

5게임을 한 번 사면 약 88.6%의 확률로 5,000원을 모두 잃습니다. 사려는 사람의 평균 기대 환급은 2,500원이지만 실제 결과는 대부분 0원이고, 드물게 5,000원이나 그 이상입니다. 평균 2,500원은 "나에게 일어나는 일"이 아니라 "수많은 사람의 합이 만든 숫자"라는 뜻이 이 표에서 구체적으로 드러납니다. 52주 연속으로 5게임씩 사더라도(260회 구매) 어떤 한 주에도 당첨되지 않을 확률이 약 0.2%, 즉 1년 내내 한 번도 안 나오는 일은 드뭅니다. 다만 그 당첨 대부분은 5,000원 단위의 5등이라는 점을 함께 봐야 합니다.

자주 나오는 질문

이월이 되면 기대값이 양수가 되나요? 이 글은 평균적인 회차의 구조를 다룹니다. 이월로 1등 당첨금이 커지면 그 회차의 기대값이 올라갈 수 있지만, 당첨자가 늘어나 나누게 될 위험과 세금이 함께 커집니다. 이월 회차를 계산하는 방법은 별도의 계산기에서 다룰 예정입니다. 이 글의 50%는 판매액 대비 당첨금 비율이라는 점만 확인해 주세요.

복권을 사는 것이 도박인가요? 이 글은 용어 논쟁을 하지 않습니다. 평균 환급이 판매액의 절반인 확률 게임이라는 사실만 다룹니다. 책임 있는 이용에 대한 내용은 별도 페이지에 있습니다.

얼마까지 써야 적당한가요? 사이트가 정해 줄 수 없습니다. 다만 "잃어도 생활에 지장이 없는 금액"으로 미리 상한을 정하고 그 안에서만 쓰는 것이 일반적으로 권해지는 방식입니다.

LottoFlick은 독립 사이트이며 복권 운영사가 아닙니다. 당첨 번호는 무작위이고 예측할 수 없습니다.

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