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확률 착각 세 가지: 뜨거운 손, 확률 크기 무시, 가용성 휴리스틱

같은 숫자를 보고도 사람마다 다르게 읽는 때가 있습니다. "8,145,060분의 1"이라는 숫자를 보고 어떤 사람은 "그래도 누군가는 당첨되잖아"라고 하고, 어떤 사람은 "열 번 중 한 번은 되겠지"처럼 행동합니다. 확률을 머리로 아는 것과 몸으로 느끼는 것 사이에는 틈이 있고, 그 틈에는 몇 가지 반복되는 패턴이 있습니다. 이 글은 그 가운데 복권과 가장 가까운 세 가지, 곧 뜨거운 손, 확률의 크기 무시, 가용성 휴리스틱을 하나씩 살펴봅니다. 앞서 도박사의 오류에서 다룬 "이번엔 나올 차례"의 반대편에 있는 착각부터 시작합니다.

1. 뜨거운 손: 흐름이 이어질 것 같다는 느낌

도박사의 오류는 "연속이 끝날 때가 됐다"고 믿는 것이었습니다. 뜨거운 손은 반대로 "연속이 계속될 것이다"고 믿는 것입니다. 농구에서 연달아 슛을 넣은 선수는 "손이 뜨겁다"고 합니다. 질로비치, 발론, 트버스키(1985)는 필라델피아 76ers의 슈팅 기록, 보스턴 셀틱스의 자유투 기록, 코넬대 선수들을 대상으로 한 통제 실험을 분석해서 연속된 슛 결과 사이에 양의 상관이 보이지 않는다고 보고했습니다. 이전 결과가 선수들의 다음 슛에 대한 예상에는 영향을 주었지만 실제 성공률에는 영향을 주지 않았다는 것입니다. 저자들은 이 믿음을 "짧은 무작위 열도 그것을 만든 과정을 닮아야 한다"는 기대로 설명했습니다.

이 결론은 이후 논쟁의 대상이 됐습니다. 밀러와 산주르조(2018, Econometrica)는 연속 뒤의 성공률을 재는 표준적인 방법에 선택 편향이 있어서 짧은 열에서는 작은 효과가 감춰질 수 있고, 이를 바로잡으면 기존 연구의 결론이 뒤집힌다고 주장했습니다. 이 글에서는 두 논문의 초록 수준만 확인했으므로 어느 쪽이 맞는지 판정하지 않습니다. 중요한 점은 다음과 같습니다. 이 논쟁은 사람의 기술에 관한 것입니다. 사람은 컨디션이 오르내리므로 연속이 의미를 가질 수 있는 영역이 존재할 수 있습니다. 반면 복권 추첨은 기계가 독립적으로 뽑는 과정입니다. 컨디션도 기술도 없습니다. 그래서 로또 번호에서 "최근 많이 나온 번호가 계속 나온다"는 뜨거운 손은 성립할 구조가 아닙니다. 1,247회의 기록에서도 직전 10회에 3번 이상 나온 번호의 다음 회차 출현율은 13.62%로 기대값 13.33%와 같았습니다(핫 번호 글).

같은 열을 보고 어떤 사람은 "끝날 때"라고 하고 어떤 사람은 "계속될 것"이라고 느끼는 것은 우연의 구조를 읽을 때 사람이 의미를 먼저 찾기 때문입니다. 어느 쪽 직관도 독립 추첨에서는 근거가 없습니다.

2. 확률의 크기 무시: 작은 확률은 다 똑같이 작다

두 번째 착각은 아주 작은 확률의 크기 차이를 느끼지 못하는 것입니다. 100만분의 1과 800만분의 1은 8배 차이인데 둘 다 "거의 안 되는 일"로 뭉뚱그려집니다. 그래서 확률이 바뀌어도 행동이 바뀌지 않습니다. 직관의 눈금은 아주 작은 확률 구간에서 거의 구분을 하지 못합니다.

이 차이를 몸으로 느낄 수 있도록 다른 방식으로 바꿔 말해 보겠습니다. 한 게임이 1등일 확률이 8,145,060분의 1일 때, 적어도 한 번 1등에 당첨될 확률이 50%가 되려면 몇 게임이 필요할까요?

1등을 적어도 한 번 맞힐 확률에 필요한 게임 수 (한 게임 1/8,145,060)
목표 확률필요한 게임 수매주 5게임(5,000원)을 산다면
50%5,645,726게임약 21,700년
90%18,754,693게임약 72,100년

매주 5게임씩 100년을 사도 26,000게임이므로 적어도 한 번 당첨될 확률은 0.32%입니다. 아래 도구에서 확률과 횟수를 바꿔 보세요. 1회 확률 칸에 0.0000123(%)을 넣으면 로또 6/45와 거의 같은 값입니다.

이 도구는 자바스크립트가 필요합니다.

확률의 크기를 잘 느끼게 해 주는 또 하나의 방법은 실제로 일어난 횟수를 보는 것입니다. 이 사이트가 분석한 88~1247회에서 판매된 게임은 대략 847억 게임이고 1등은 10,387건이었습니다. 약 815만 게임당 1건꼴입니다. 판매량이 이렇게 많아야 매주 평균 9명 안팎이 나옵니다. "누군가는 당첨된다"는 말이 맞는 이유는 수천만 명이 아니라 수천만 게임이 모이기 때문이고, 그것이 내 한 장의 확률을 올려 주지는 않습니다.

3. 가용성 휴리스틱: 떠오르는 것이 흔한 것이다

세 번째는 확률을 계산하는 대신 "그런 사례가 얼마나 쉽게 떠오르는가"로 판단하는 습관입니다. 트버스키와 카너먼(1973)은 사람들이 어떤 부류의 빈도나 사건의 확률을 관련 사례가 얼마나 쉽게 떠오르는지로 가늠하며, 이것이 체계적인 편향을 낳는다고 보고했습니다. 이 글에서는 그 논문의 서지 기록만 확인했습니다.

복권에서 이 편향은 뚜렷하게 작동합니다. 1등 당첨 소식은 뉴스가 되고 당첨자는 인터뷰를 하고 판매점에는 현수막이 걸립니다. 반대로 당첨되지 않은 수천만 장의 낙첨은 어디에도 기록되지 않습니다. 기억에 남는 사례만 보이니 당첨이 실제보다 흔하게 느껴집니다. 63명이 당첨된 1128회 같은 이례적인 회차는 더 강한 인상을 남깁니다. 하지만 그 회차도 63명이 나왔을 뿐, 같은 회차에서 낙첨한 게임은 1억 1천만 장이 넘었습니다.

가용성은 반대 방향으로도 작동합니다. 내가 가끔 구입한 번호가 한 번도 나오지 않았는데도 "다음에는 나올 것 같다"고 느끼는 것은 확률에 대한 판단이 아니라 기대에 대한 감정입니다.

세 착각이 합쳐지면

세 착각은 함께 작동하는 때가 많습니다. 최근 번호가 몇 번 이어지면 뜨거운 손으로 읽고, 안 나온 번호는 "나올 때"라고 읽으며, 이 모든 판단이 "1등은 평범한 사람에게도 일어난다"는 기억에 얹혀 확률의 크기를 잊게 합니다. 그 결과 "많이 샀으니 가까워졌다"는 느낌이 됩니다. 가까워진 것은 없습니다. 각 게임은 독립이므로 앞에서 산 수가 다음 게임의 확률을 바꾸지 않습니다.

직관을 보정하는 방법

직접 풀어 보는 점검 문제

세 착각이 내 판단에 얼마나 들어와 있는지 네 문제로 점검해 보세요. 답은 문제 아래에 있습니다.

  1. 로또에서 직전 10회 동안 3번 이상 나온 번호가 이번 회차에 나올 확률은 기본값 13.33%보다 높을까요?
  2. 어떤 게임의 1회 성공 확률이 1%입니다. 100번 시도하면 적어도 한 번 성공할 확률은 100%일까요?
  3. 복권 1등 확률이 100만분의 1인 복권과 800만분의 1인 복권이 있습니다. 1등 당첨금이 같다면 기대값은 몇 배 차이일까요?
  4. 뉴스에서 이번 주 1등 당첨자가 인터뷰한 것을 봤습니다. 이것이 내 당첨 확률에 대해 알려 주는 것은?

답: (1) 아닙니다. 1,247회 기록에서 그런 번호의 다음 회차 출현율은 13.62%로 기본값 13.33%와 같은 수준이었습니다. (2) 아닙니다. 1 − 0.99100 ≈ 63.4%입니다. 100번을 해도 36.6%는 한 번도 성공하지 못합니다. (3) 8배입니다. 1등 당첨금이 같다면 기대 기여액이 8배 차이입니다. (4) 아무것도 알려 주지 않습니다. 인터뷰는 당첨된 사례 하나이고, 당첨되지 않은 수천만 게임에 대한 정보는 없습니다.

2번 문제에서 많은 사람이 "100번이니 100%"라고 느낍니다. 평균 시도 횟수 100번이 "확실"을 뜻하지 않는다는 점은 확률 크기 무시와 닿아 있습니다. 위 도구에 확률 1%, 횟수 100을 넣으면 63.4%가 나옵니다.

한계

이런 착각은 지능이나 교육의 문제가 아닙니다. 연구자도 같은 착각을 합니다. 그래서 좋은 방법은 직관을 탓하는 것이 아니라 직관이 틀리기 쉬운 지점에서 계산기를 꺼내는 것입니다. 다음 글 큰 숫자 앞에서 판단이 흐려지는 이유에서는 이 주제를 이어서 이야기합니다.

LottoFlick은 독립 사이트이며 복권 운영사가 아닙니다. 당첨 번호는 무작위이고 예측할 수 없습니다.

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