작성일 · · 최종 검토일 · · 6분

한국어 · English

도박사의 오류: '이번엔 나올 차례'가 틀린 이유

동전을 던져 앞면이 다섯 번 연속 나왔습니다. 여섯 번째는 무엇이 나올까요? 많은 사람이 "이제 뒷면이 나올 때가 됐다"고 느낍니다. 반대로 "흐름이 앞면이니 계속 앞면"이라고 느끼는 사람도 있습니다. 두 직관은 방향이 반대인데 뿌리는 같습니다. 이전 결과가 다음 결과에 영향을 준다고 믿는 것입니다. 공정한 동전에서 여섯 번째가 앞면일 확률은 정확히 50%입니다. 이 글은 이 사실을 직관이 아니라 실험과 계산으로 확인하고, 왜 이 믿음이 그토록 끈질긴지 설명합니다.

먼저 실험: 앞면이 연속된 뒤에는?

공정한 동전을 백만 번 던지는 시뮬레이션을 아래에 넣었습니다. "앞면이 3번 연속 나온 뒤", "5번 연속 나온 뒤", "7번 연속 나온 뒤"로 상황을 나눠서 다음 던지기가 앞면이었던 비율을 셉니다.

이 도구는 자바스크립트가 필요합니다.

실행할 때마다 숫자가 조금씩 달라지지만 어느 줄이든 비율은 50% 근처입니다. 7번 연속 뒤에는 해당 상황이 수천 번밖에 생기지 않아 49%나 51%가 나오기도 하는데, 이는 표본이 적어서 흔들리는 것이지 방향이 있는 것이 아닙니다. 시뮬레이션이 방향을 보이지 않는 이유는 단순합니다. 코드가 이전 결과를 전혀 쓰지 않기 때문입니다. 실제 동전, 추첨기, 난수 생성기도 마찬가지로 이전 결과를 쓰지 않습니다.

독립이라는 말의 뜻

두 사건이 독립이라는 것은 한쪽이 일어났다는 사실을 알아도 다른 쪽의 확률이 바뀌지 않는다는 뜻입니다. 동전의 여섯 번째 던지기가 앞면일 확률은 앞의 다섯 번 결과를 알든 모르든 1/2입니다. 앞면 5번 다음에 앞면이 나오는 경우(HHHHHH)와 뒷면이 나오는 경우(HHHHHT)는 모두 64가지 중 하나라서 확률이 같습니다. HHHHH가 이상해 보이는 것은 그것이 규칙적으로 보여서이지 다른 어떤 5연속보다 드물어서가 아닙니다. HTHHT도 HHHHH도 5번 던졌을 때 나올 확률은 똑같이 1/32입니다.

로또 추첨도 같습니다. 이번 회차에 어떤 번호가 나왔는지는 다음 회차의 추첨에 쓰이지 않습니다. 앞 글 핫 번호와 콜드 번호는 의미가 있을까에서 1,247회의 기록으로 확인했듯이, 20회 이상 나오지 않은 번호가 다음 회차에 나온 비율은 12.67%로 기대치 13.33%와 다르지 않았습니다. "나올 때가 됐다"는 느낌에 해당하는 현상이 데이터에 없습니다.

"이렇게 긴 연속은 이상하다"는 느낌도 틀렸다

도박사의 오류의 쌍둥이는 긴 연속을 보고 "이건 조작이다" 혹은 "이제 반드시 끊긴다"고 느끼는 것입니다. 실제로는 무작위 열에서 연속은 생각보다 자주 나옵니다. 공정한 동전을 던질 때 앞면이 5번 이상 연속 나오는 구간이 최소 한 번 있을 확률은 이렇습니다.

공정한 동전에서 같은 면이 연속으로 나오는 구간이 최소 한 번 있을 확률(앞면 기준)
던진 횟수연속 길이확률
20번5번 이상25.0%
100번5번 이상81.0%
100번7번 이상31.7%
100번10번 이상4.4%
1,000번10번 이상38.5%

100번 던지면 앞면 5연속이 한 번이라도 나올 확률이 81%입니다. 사람이 "무작위처럼" 앞뒤를 손으로 적을 때는 긴 연속을 피하는 경향이 있어서 진짜 무작위 열이 오히려 인위적으로 보이기 쉽습니다. 직관은 무작위를 실제보다 더 고르고 번갈아 나오는 것으로 기대합니다.

대수의 법칙이 이 믿음을 부추긴다

이 오류가 그럴듯한 이유는 맞는 법칙 하나를 틀리게 적용하기 때문입니다. 대수의 법칙은 시행을 많이 하면 앞면의 비율이 1/2에 가까워진다고 말합니다. 그것이 "앞면이 많이 나왔으니 뒷면이 보충된다"는 뜻은 아닙니다. 예를 들어 100번 던져 앞면이 60번 나왔다고 합시다. 앞으로 1,000번을 던지면 앞면은 평균 500번이므로 총 1,100번 중 앞면은 560번, 비율은 50.9%입니다. 60 대 40의 차이가 보충되지 않았지만 비율은 50%에 훨씬 가까워졌습니다. 차이는 남아 있고, 새 시행의 수에 묻혀 비율이 줄어든 것뿐입니다. 동전은 불균형을 기억해서 바로잡지 않습니다.

심리학자 트버스키와 카너먼은 사람들이 작은 표본도 모집단과 닮아야 한다고 기대하는 경향을 "작은 수의 법칙에 대한 믿음"이라고 불렀습니다(1971). 이 글에서는 그 논문의 서지 정보만 확인했으므로 구체적인 실험 결과는 소개하지 않습니다.

현실에서도 나타나는 오류

이 오류는 실험실에서만 나타나지 않습니다. Clotfelter와 Cook(1993)은 미국 메릴랜드의 숫자 맞히기 복권을 분석해서, 어떤 번호가 당첨된 직후 그 번호에 걸리는 금액이 줄었다가 몇 달에 걸쳐 원래대로 돌아온다는 결과를 보고했습니다. 같은 번호가 연달아 나오기 어렵다고 생각한 것으로 해석됩니다. 또 Chen, Moskowitz, Shue(2016, QJE)는 난민 심사 판사, 대출 심사 담당자, 야구 심판의 판단이 이전 결정과 반대 방향으로 쏠리는 경향을 보고했습니다. 이 두 연구에 대해서는 서지 정보와 요약만 확인했고 전문은 열람하지 못했으므로, 이 글에서는 그 핵심 주장만 소개합니다.

그래서 어떻게 보면 되나

한계도 적어 둡니다. 이 글은 이상적인 독립 시행을 다뤘습니다. 실제 장치가 편향돼 있거나 이전 결과가 다음 결과에 물리적으로 영향을 주는 경우(예: 카드를 뽑고 다시 섞지 않는 경우)에는 독립이 아니며 확률이 달라집니다. 로또 추첨기는 매회 독립적으로 구성되어 이런 경우에 해당하지 않는다는 것이 이 사이트의 전제이고, 위 1,247회의 기록은 그 전제와 어긋나지 않습니다.

같은 번호를 계속 사는 것과 매주 바꾸는 것

도박사의 오류에서 이어지는 흔한 질문이 있습니다. "같은 번호를 계속 사는 게 나을까, 매번 바꾸는 게 나을까?" 수학적으로 답은 두 가지로 나뉩니다.

그래서 "번호를 바꿔야 할지"라는 질문의 정확한 답은 "회차 사이에서는 상관없고, 한 회차 안에서는 겹치지 않게 사는 것이 겹치게 사는 것보다 낫다"입니다. 이는 당첨을 예측하는 방법이 아니라 같은 돈으로 서로 다른 조합을 사는 것의 산수입니다.

연습 문제

직관을 점검할 문제 세 개입니다. 답은 바로 아래에 있습니다.

  1. 동전을 던져 앞면이 6번 연속 나왔습니다. 일곱 번째가 앞면일 확률은?
  2. 동전을 7번 던질 때 7번 모두 앞면일 확률은?
  3. 로또에서 지난 30회 동안 한 번도 나오지 않은 번호가 이번 회차에 나올 확률은?

답: (1) 1/2입니다. 앞의 6번은 이미 일어난 일입니다. (2) 1/128, 약 0.78%입니다. 1번 문제와 2번 문제의 차이는 "이미 6번이 일어났다는 조건이 주어졌는가"입니다. 조건이 주어지면 확률은 1/2로 돌아갑니다. 2번의 1/128은 7번 전체가 아직 일어나지 않은 상태의 확률입니다. (3) 6/45 = 13.33%입니다. 30회 동안 안 나왔다는 사실은 영향이 없습니다.

LottoFlick은 독립 사이트이며 복권 운영사가 아닙니다. 당첨 번호는 무작위이고 예측할 수 없습니다.

출처와 확인 상태