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확률형 아이템의 확률 계산: 기대 시도 횟수, 천장, "1%를 100번 하면"

게임이나 앱에서 상자를 열거나 뽑기를 돌려 아이템을 얻는 방식을 흔히 확률형 아이템이라고 합니다. "원하는 아이템이 나올 확률 1%"라고 적혀 있을 때, 많은 사람이 이렇게 읽습니다. "100번 하면 하나는 나오겠네." 계산해 보면 100번 시도해서 적어도 한 번 나올 확률은 63.4%입니다. 열 번 중 서너 번은 100번을 해도 못 얻습니다. 이 글은 확률형 아이템의 확률을 계산하는 몇 가지 기본 도구, 곧 기대 시도 횟수, "적어도 한 번"의 확률, 천장(확정 획득)이 기대값에 주는 영향, 전부 모으는 데 필요한 횟수를 보여 줍니다. 그리고 우리나라 법령이 확률 표시에 대해 실제로 무엇을 적고 있는지도 원문으로 확인해 소개합니다. 특정 게임이나 업체를 평가하거나 홍보하지 않습니다.

먼저 계산기

1회 확률과 시도 횟수를 넣으면 적어도 한 번 얻을 확률, 기대 시도 횟수, 50%·90%·99% 확률에 필요한 횟수가 나옵니다. "이 횟수째에 확정"에 값을 넣으면 천장이 있는 경우의 값을 보여 줍니다.

이 도구는 자바스크립트가 필요합니다.

기본 1: 기대 시도 횟수는 확률의 역수

1회 확률이 p이면 처음 성공할 때까지의 시도 횟수의 평균(기대값)은 1/p입니다. 1%이면 평균 100번, 0.1%이면 1,000번, 0.6%이면 약 167번입니다. 여기서 중요한 단어는 "평균"입니다. 평균이 100번이라고 해서 100번째에 나온다는 뜻이 아닙니다. 첫 시도에 나올 수도 있고 500번 넘게 안 나올 수도 있습니다.

기본 2: "1%를 100번 하면"

한 번도 성공하지 못할 확률은 (1 − p)n이므로, 적어도 한 번 성공할 확률은 1 − (1 − p)n입니다.

1회 확률 1%일 때, n번 시도해서 적어도 한 번 얻을 확률
시도 횟수적어도 한 번 얻을 확률
10번9.6%
50번39.5%
100번63.4%
200번86.6%
300번95.1%

기대 시도 횟수와 같은 100번을 해도 성공하는 쪽이 63.4%일 뿐이고 36.6%는 그동안 한 번도 못 얻습니다. 100번에서 가진 직관적인 "거의 확실"은 63%로 줄어듭니다. 이것이 "1%를 100번 하면 되겠지"의 오해입니다. 확실에 가깝게 하려면 훨씬 많은 횟수가 필요합니다.

목표 확률별 필요한 시도 횟수
1회 확률50%90%99%
1%69번230번459번
0.6%116번383번766번
0.1%693번2,302번4,603번

1%의 기대 횟수는 100번이지만 90%의 확신을 얻으려면 230번이 필요합니다. 기대 횟수의 두 배 이상입니다. 이런 비대칭은 "평균"만으로 계획을 세우면 위험하다는 것을 알려 줍니다.

기본 3: 천장(확정 획득)이 기대값을 바꾸는 방식

일부 확률형 아이템에는 "일정 횟수를 채우면 확정으로 얻는다"는 장치가 있습니다. 흔히 천장이라고 부르는 이 장치는 시도 횟수의 상한을 만듭니다. 1회 확률 p이고 N번째 시도에서 확정이라면, 처음 성공할 때까지의 기대 시도 횟수는 (1 − (1 − p)N) ÷ p입니다.

천장이 있을 때와 없을 때의 기대 시도 횟수 (가상의 수치)
1회 확률천장기대 시도 횟수천장 없을 때천장까지 가는 사람의 비율
1%100번째약 63.4번100번약 37.0%
1%50번째약 39.5번100번약 61.1%
0.6%90번째약 69.7번약 166.7번약 58.5%

천장은 최악의 경우를 막아 주지만 평균은 생각보다 많이 줄지 않을 때도 있고 크게 줄 때도 있습니다. 같은 1%라도 천장 100번에서는 기대 횟수가 63.4번이므로 그 확정 장치가 평균을 약 37% 줄입니다. 한편 천장 이전에 얻는 사람은 63%이고 37%는 천장까지 가서 확정으로 얻습니다. 천장까지 가는 비율이 매우 큰 장치도 있습니다(0.6%, 90번에서 58.5%). 이 표의 확률과 천장 횟수는 설명용 가정이며 실제 어떤 서비스의 수치도 아닙니다.

또 하나 짚을 점이 있습니다. 천장 횟수가 같은 구조에서도 "1회 확률"이 단순히 고정되어 있지 않고 시도 횟수에 따라 올라가는 방식이 있을 수 있습니다. 이때는 위 공식이 맞지 않습니다. 확률이 변하는 방식은 아래에서 보듯이 법령이 표시를 요구하는 대상이기도 합니다.

기본 4: 여러 종류를 전부 모으려면

원하는 아이템이 한 종류가 아니라 n종 전부라면 어떨까요? 모든 종류의 확률이 같다고 하면 n종을 다 모으는 데 필요한 기대 시도 횟수는 n × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n)입니다. 쿠폰 수집 문제라고 불리는 계산입니다.

동일 확률 n종을 모두 모으는 기대 시도 횟수
종류 수 n기대 시도 횟수
5종약 11.4번
6종약 14.7번
10종약 29.3번
20종약 72.0번

마지막 한 종류를 얻는 데 걸리는 횟수가 가장 큽니다. 10종 중 마지막 하나를 얻는 데만 평균 10번이 필요합니다. 이 계산은 모든 종류의 확률이 같다는 가정입니다. 특정 종류의 확률이 낮은 "구성품 확률이 다른" 경우에는 기대 횟수가 훨씬 커집니다. 이 가정이 맞지 않는 상황에서는 위 표를 쓰면 안 됩니다.

법령은 확률 표시에 대해 무엇을 정하고 있나

우리나라는 확률형 아이템의 확률 정보를 표시하도록 법으로 정하고 있습니다. 아래는 국가법령정보센터에서 읽은 원문의 요지입니다.

이 규정의 의미는 이 글의 계산과 직접 연결됩니다. 표시된 확률이 있으면 위 도구에 넣어 기대 횟수와 "이 정도면 얻는 확률"을 구할 수 있고, 천장이 있다면 표시된 조건이 위 공식의 N이 됩니다. 표시된 확률이 어떻게 만들어지고 어떻게 검증되는지, 표시 의무를 어겼을 때의 제재가 무엇인지는 이 글에서 확인하지 못했습니다. 한 가지 더, 뉴스에 따르면 이 법은 이후 개정되어 2025년 8월 1일부터 시행될 예정이라고 하지만 이 글은 개정 내용을 원문으로 확인하지 못했습니다. 현행 조문은 국가법령정보센터에서 확인해 주세요.

확률을 읽는 몇 가지 원칙

한계

출처와 확인 상태