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생일 문제: 왜 23명이면 충분할까

교실에 학생이 23명 있습니다. 이 중에 생일이 같은 두 명이 있을 확률은 얼마일까요? 직관으로는 한 자릿수 퍼센트일 것 같습니다. 1년이 365일인데 23명이라니 너무 적어 보이기 때문입니다. 정답은 50.7%입니다. 동전 던지기보다 약간 높은 확률로 같은 생일이 존재합니다. 이 결과는 "생일 역설"이라고 불리지만 논리에 모순이 있는 역설이 아니라 직관이 틀리는 사례입니다. 이 글은 왜 직관이 틀리는지, 정확히 어떻게 계산하는지를 보여 주고, 같은 수학이 복권에서 어디에 나타나는지까지 이어 갑니다.

직접 해 보기

먼저 숫자를 바꿔 가며 확인해 보세요. 인원을 넣으면 이론값이 나오고, 버튼을 누르면 가상의 모임 20,000개를 만들어 실제로 같은 생일이 몇 번 나오는지 셉니다.

이 도구는 자바스크립트가 필요합니다.

인원을 23으로 두면 이론값은 50.73%이고 시뮬레이션은 50% 안팎에서 조금씩 달라집니다. 시뮬레이션이 매번 정확히 같지 않은 것은 표본이 20,000개라서 생기는 우연의 폭 때문입니다(95% 범위로 약 ±0.7%p).

계산하는 법: 전부 다르게 되는 확률을 구한다

"적어도 한 쌍이 같다"를 바로 세기는 어렵습니다. 둘이 같은 경우, 셋이 같은 경우, 여러 쌍이 같은 경우가 뒤섞이기 때문입니다. 그래서 반대 사건, 곧 모두 생일이 다른 경우의 확률을 구하고 1에서 뺍니다.

모두 다를 확률은 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 0.4927입니다. 따라서 적어도 한 쌍이 같을 확률은 1 − 0.4927 = 0.5073, 곧 50.7%입니다. 계산은 이게 전부입니다. 한 가지 가정이 들어 있습니다. 365일이 모두 같은 확률이라는 것입니다(윤년은 무시했습니다).

인원별 확률

인원수에 따른, 생일이 같은 두 사람이 있을 확률 (365일 균등 가정)
인원확률서로 비교되는 쌍의 수
5명2.71%10쌍
10명11.69%45쌍
15명25.29%105쌍
20명41.14%190쌍
23명50.73%253쌍
30명70.63%435쌍
40명89.12%780쌍
50명97.04%1,225쌍
57명99.01%1,596쌍
70명99.92%2,415쌍

마지막 열이 직관이 틀리는 이유의 핵심입니다.

직관이 틀리는 이유: 비교되는 것은 사람이 아니라 쌍이다

우리는 무의식적으로 "나와 같은 생일이 있을 확률"을 떠올립니다. 그 확률은 정말 작습니다. 나를 뺀 22명 중에 나와 생일이 같은 사람이 있을 확률은 1 − (364/365)22 ≈ 5.9%입니다. 그리고 이 확률이 50%가 되려면 다른 253명이 필요합니다. 반면 생일 문제는 "누구든 같은 사람이 한 쌍이라도 있는가"를 묻습니다. 23명이면 서로 비교되는 쌍이 23 × 22 ÷ 2 = 253쌍입니다. 253쌍 하나하나는 약 1/365의 확률로 맞지만, 쌍이 많으니 어느 한 쌍이라도 맞을 확률이 커집니다. 인원이 늘면 쌍은 거의 제곱으로 늘어납니다. 23명에서 57명으로 2.5배 늘면 쌍은 1,596쌍으로 6.3배 늘어납니다.

이를 간단한 근사식으로 볼 수도 있습니다. 확률은 대략 1 − e−n(n−1)/730입니다. n = 23이면 1 − e−0.693 ≈ 0.5000입니다. 지수 안의 값이 쌍의 수를 365로 나눈 것(253 ÷ 365 ≈ 0.693 = ln 2)이어서, 쌍의 수가 365에 ln 2를 곱한 값(약 253)에 닿으면 확률이 50%에 닿는다는 규칙을 얻습니다. 이 식은 일 수가 달라져도 그대로 쓸 수 있습니다.

로또 번호 중복에 적용하면

같은 수학이 복권 번호에도 나옵니다. 365일 대신 로또 6/45의 조합 8,145,060가지가 있다고 합시다. 서로 다른 사람이 무작위로 조합을 한 장씩 골랐을 때 "적어도 두 장의 번호가 같을 확률"이 50%가 되려면 몇 장이 필요할까요? 위 근사식에서 쌍의 수가 8,145,060 × ln 2 ≈ 5,646,000쌍일 때이므로 인원은 약 3,361명입니다. 정확한 곱셈으로 구해도 3,361장에서 50.0%에 닿습니다.

무작위로 뽑은 로또 6/45 번호 n장 중 같은 조합이 있을 확률
장수같은 조합이 있을 확률
1,000장5.95%
3,000장42.44%
3,361장50.0%
10,000장99.78%

8백만 가지 중에서 단 3,361장만 골라도 반반의 확률로 서로 같은 조합이 있다는 것입니다. 한 회차에 약 1억 장 이상이 팔리므로 같은 조합이 여러 번 나오는 것은 확률적으로 당연합니다. 이것이 한 회차에 1등이 여러 명 나오는 일의 가장 기본적인 이유입니다. 다만 위 계산은 모든 사람이 조합을 균등하게 무작위로 고른다는 가정이며, 실제로는 사람이 고르는 번호가 쏠리기 때문에 중복은 이보다 더 자주 일어납니다(1등 당첨자 수 분석).

현실의 생일은 균등하지 않다

이 계산은 365일이 모두 같은 확률이라는 가정 위에 있습니다. 실제 출생일은 요일과 계절에 따라 고르지 않다는 점이 알려져 있어, 현실의 확률은 이 이론값보다 약간 높습니다. 다만 이 글은 그 분포의 구체적인 수치를 확인하지 못했으므로 크기는 말하지 않습니다. 균등 가정이 결론을 뒤집을 만큼 큰 영향을 주지 않는다는 것도 이 문제의 특징입니다. 불균등하면 같은 생일이 더 쉽게 생기기 때문에 23명에서 50%를 넘는다는 결론은 유지됩니다.

응용: 세 명이 같은 생일일 확률

"같은 생일이 두 명"이 아니라 "세 명이 같은 생일"이라면 어떨까요? 정확한 공식은 복잡하므로 이 사이트가 모의 실험을 40만 번씩 돌려 확인했습니다. 87명이면 약 49.96%, 88명이면 약 51.2%로 50%를 넘는 지점이 88명 근처입니다(실험 오차 ±0.1%p 안팎). 두 명일 때의 23명보다 네 배 가까운 인원이 필요합니다. 같은 일이라도 "몇 명이 겹치는가"를 하나 늘리면 필요한 인원이 크게 늘어납니다. 반대로 "누군가는 누군가와 겹친다"는 것이 얼마나 쉽게 일어나는지를 이 차이가 보여 줍니다.

이 문제에서 얻는 것

한계를 적습니다. 이 글의 값은 365일 균등, 윤년 무시, 서로 독립이라는 가정 위의 이론값입니다. 시뮬레이터의 결과는 난수에서 나온 것이어서 실행할 때마다 달라집니다. 다음 글 몬티 홀 문제도 같은 종류의 직관 오류, 곧 조건이 주어졌을 때 확률이 어떻게 바뀌는지를 다룹니다.

손으로 따라 해 보기

5명일 때를 직접 계산해 봅시다. 모두 다를 확률은 365/365 × 364/365 × 363/365 × 362/365 × 361/365입니다. 첫 항은 1이므로 0.99726 × 0.99452 × 0.98904 × 0.98630처럼 이어 곱하면 약 0.9729가 되고, 적어도 한 쌍이 같을 확률은 1 − 0.9729 = 2.71%입니다. 위 표의 5명 값과 같습니다. 이처럼 인원이 적을 때는 확률이 작지만 쌍의 수가 늘면서 곱이 점점 작아져 어느 순간 0.5를 아래로 지나갑니다. 23번째 항을 곱하는 순간이 바로 그 지점입니다.

연습 문제

  1. 30명 학급에서 생일이 같은 두 명이 있을 확률은? (표에서 읽습니다.)
  2. 30명 학급에서 나와 생일이 같은 친구가 있을 확률은?
  3. 한 가족 4명 중 생일이 같은 사람이 있을 확률은 대략 얼마나 될까요?

답: (1) 70.63%. (2) 나를 뺀 29명 중 한 명이라도 나와 같은 확률은 1 − (364/365)29 ≈ 7.6%입니다. 같은 학급에서도 "아무나 같은 사람"은 70.6%인데 "나와 같은 사람"은 7.6%로 열 배 가까이 작습니다. (3) 4명이면 쌍이 6쌍이고 계산하면 1 − (364/365 × 363/365 × 362/365) ≈ 1.6%입니다. 한 가족 안에서 생일이 겹치는 일은 드물지만 완전히 이상한 일은 아닙니다.

2번 문제의 답이 이 글의 핵심 구분입니다. 같은 학급인데도 질문을 바꾸면 확률이 열 배 가까이 달라집니다.

출처와 확인 상태